Пятница, 25.05.2018, 20:23 Логотип сайта

Форма входа

Категории раздела

Её Величество Кошка [24]
Ремиксы [16]
Это интересно [44]

Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0

Новое на сайте
OMAR TA SATT

Flag Counter
| © 2018
Начало » Мастера » Проснись и пой » Это интересно

Фракталы: размерность и длина

Кроме самоподобия фракталам присуща дробная размерность. Упрощенно её можно вычислить по формуле R = ln N / ln k, где N – число одинаковых частей, на которые разбивается самоподобный объект, имеющий в k раз меньший пространственный размер. Для пояснения воспользуемся уже знакомым рисунком:
 

Как видно из рисунка, из исходных треугольника и квадрата можно получить соответственно 3 и 4 подобные фигуры в 2 раза меньшего размера, а из кубика получается 8 маленьких кубиков. Так что, для квадрата R = ln 4 / ln 2 = 2 (вспоминаем школьные логарифмы или просто верим), для куба - R = ln 8 / ln 2 = 3, а вот для треугольника R = ln 3 / ln 2 = 1,585. Дробная размерность показывает, что из треугольника на рисунке можно построить фрактал, если продолжать процесс деления сторон:

На необычные качества треугольника ещё в 1915 году обратил внимание польский математик Вацлав Серпинский, а исследованная им ломаная линия получила название «треугольник Серпинского».

Именно такие самоподобные объекты дробной размерности Мандельброт назвал «фракталами».

Что же необычно в «треугольнике Серпинского»? В отличие от других линий, здесь длина ломаной бесконечна! Попробуем в этом убедиться. Для этого, начиная с равностороннего треугольника со стороной а длиной в 1 метр, на каждом этапе построения (см. рисунок) будем считать длину «треугольника Серпинского» как сумму длин сторон всех треугольников:

По таблице хорошо видны тенденции, присущие всем фракталам: размер стороны (масштаб) уменьшается на каждом этапе построения, а общая длина при этом увеличивается. Если продолжить построение, то на каком-то n-ом этапе ломаная будет состоять из 3×3^n отрезков длиной а / 2^n каждый. Полная длина ломаной составит:

Таким образом, измеренная длина фрактальной ломаной, во-первых, всегда будет зависеть от этапа построения; во-вторых, согласно формуле с увеличением n длина ломаной будет бесконечно увеличиваться. И это относится ко всем фракталам - с уменьшением масштаба измерения длина кривой неограниченно растет.

Есть, правда, один важный фактор, отличающий реальный самоподобный объект от идеального математического: у реальных объектов существует минимальный масштаб измерения Аmin.

Представьте, что вы рисуете «треугольник Серпинского» из нашего примера карандашом на бумаге. Пусть начальная длина стороны А = 1 м, и карандаш оставляет линию толщиной t = 0,1мм = 10-4 м. Понятно, что процесс построения остановится, как только длина стороны треугольника сравняется с толщиной линии. Нетрудно подсчитать, что это произойдет на шаге с номером n, когда минимальный масштаб Аmin = А / 2^n станет равным толщине линии t. Можно посчитать, что это произойдёт достаточно быстро - при n = 13. При этом длина линии будет примерно равна 584 м(!). Так что реальная самоподобная ломаная имеет конечную длину.

 


 
Было бы неправильно считать, что до Бенуа Мандельброта никто не занимался фракталами. История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса – самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. Но никому не могло прийти в голову, что в окружающей нас природе встретится что-нибудь похожее на эти необычные и изысканные кривые.

1) «Кривая Пеано» была построена Джузеппе Пеано в 1890 г.
 


2) «Кривая Минковского» создана математиком Германом Минковским (ориентировочно в период 1896-1906 г.г.). Кстати, он был одним из учителей Эйнштейна.

3) «Кривая Коха». Выпуклая кривая носит название «Снежинки Коха», она была придумана Гельгом фон Кохом в 1904 году, остальные изображения – её вариации.

(И что, интересно, они нам этим хотели сказать?)

4) «Кривая Леви» – фрактал, предложенный французским математиком П. Леви. Кстати, он был одним из учителей Бенуа Мандельброта.


5) «Коврик Серпинского» (1916г.)


6) «Кривую дракона» придумал физик NASA Джон Э. Хейтуэй, а подробную теорию он разработал совместно с Хартером и Бенксом. Фрактал стал известен в 1967 году после того, как о нём написал Мартин Гарднер. Кривая действительно несколько напоминает дракона с когтистыми лапами и разверстой пастью.

Продолжение следует...

 

 

 



Категория: Это интересно | Добавил: Lana_Ana (16.12.2014) | Автор: По материалам Internet
Просмотров: 1750 | Комментарии: 4 | Теги: фракталы, Информация
Всего комментариев: 4
0
1  
Благодарю, Света! Очень интересно и познавательно!

0
2  
hearts

0
3  
Я чувствую, что эти творения содержат информацию и энергию. Идёт сильнейшая энергетическая трансляция. Возможно, информационнаяБлагодарю, Света!

0
4  
Значит, мы чувствуем одинаково! clap

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
ОБНОВЛЕНИЯ И КОММЕНТАРИИ
Новое у Наталии



(0)[12.05.2018]














Мастера делятся










Новости в мастерских

[29.07.2015]




Новые комментарии
Пружинный маятник, Или жить в гармонии со Вселенной
Пружинный маятник, Или жить в гармонии со Вселенной
Привет, весна! Энергетическая болтушка :)
Дякую!До встречи на новой территории! ...
Привет, весна! Энергетическая болтушка :)
ПОТРЯСАЮЩЕ, Танюша!
С почином!  
...
Квантовый скачок, или Глюк невидимый
Я пока тоже играю,
Квантовый скачок, или Глюк невидимый
Танечка, очень понравилось. Сама время от времени думаю о том же - играть дальше или совершить скачо...
Любовь и Вина (сказка)
Как-то так. 
Любовь и Вина (сказка)
Квантовый скачок, или Глюк невидимый
Так проще всего.. 
Квантовый скачок, или Глюк невидимый
О, я ещё и так могу? 
Хорошие новости





Новые фильмы
00:02:57

Развивающие мультфильмы-Мурзилка.Кем быть? (АВТОМЕХАНИК)

  • Просмотры:
  • Всего комментариев: 0
  • Рейтинг: 0.0
00:06:21

Развивающие мультфильмы-Мурзилка.Кем быть? (СТРОИТЕЛЬ)

  • Просмотры:
  • Всего комментариев: 0
  • Рейтинг: 0.0
00:04:25
LightRay